que es Mediatrices

En efecto, sea ${\displaystyle ��}$ el segmento que sea, determinado por los puntos ${\displaystyle �}$ y ${\displaystyle �}$. Sea ${\displaystyle �}$ el punto medio del segmento y ${\displaystyle �}$ la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea ${\displaystyle �}$ un punto sobre la recta ${\displaystyle �}$. En la simetría axial respecto de la recta ${\displaystyle �}$, el punto ${\displaystyle �}$ es invariante y los puntos ${\displaystyle �}$ y ${\displaystyle �}$ son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento ${\displaystyle ��}$ se transforma en el segmento ${\displaystyle ��}$, ambos segmentos son congruentes y el punto ${\displaystyle �}$ equidista de los puntos ${\displaystyle �}$ y ${\displaystyle �}$. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta ${\displaystyle �}$ pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Recíprocamente, sea ${\displaystyle ��}$ un segmento y sea ${\displaystyle �}$ un punto que equidista de ${\displaystyle �}$ y de ${\displaystyle �}$, esto es que los segmentos ${\displaystyle ��}$ y ${\displaystyle ��}$ son iguales. Consideremos la bisectriz ${\displaystyle �}$ del ángulo ${\displaystyle ���}$ y sea ${\displaystyle �}$ la intersección de dicha bisectriz con el segmento ${\displaystyle ��}$.

Por construcción, los ángulos ${\displaystyle ���}$ y ${\displaystyle ���}$ son iguales y en la simetría axial respecto de la recta ${\displaystyle �}$ se transforman uno en el otro. Como los segmentos ${\displaystyle ��}$ y ${\displaystyle ��}$ son iguales, en esta simetría, los puntos ${\displaystyle �}$ y ${\displaystyle �}$ son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto ${\displaystyle �}$ es punto medio del segmento ${\displaystyle ��}$ y que dicho segmento es perpendicular a la recta ${\displaystyle �}$.