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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y se verifican para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren, es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones. Si la gráfica de dos funciones coincide, entonces es una identidad. En cambio, si solamente se cortan en uno o algunos puntos, entonces se trata de una ecuación trigonométrica cuyas soluciones son las abscisas de los puntos de corte.  Según su forma, las identidades trigonométricas adquieren distintos nombres: identidades trigonométricas de cociente e identidades trigonométricas pitagóricas.  Identidades trigonométricas de cociente Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno. Si consideramos el siguiente triángulo rectángulo ABC: 

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos. Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula. Tipos de segmentos   Segmento nulo Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Segmentos concatenados Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.   Segmentos consecutivos Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta.   Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y esperpendicular a él. División de un segmento en partes Dividir el segmento AB en 3 partes iguales: 1  Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento 2  Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A. 3  Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. L...

Un   paralelogramo   es un   cuadrilátero   que tiene los lados paralelos dos a dos.  Un   paralelogramo   tiene   dos diagonales  que se cortan en su punto medio.  La   suma   de los   ángulos interiores   de un   paralelogramo  es igual a   360° .   Clasificación de paralelogramos Cuadrado El  cuadrado  tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos. Las  diagonales  de un  cuadrado  son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos. Rectángulo El  rectángulo  tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos. Las  diagonales  de un  rectángulo  son iguales. Rombo El  rombo  tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos. Las  diagonales  de un  rombo  son perpendiculares entre sí y bisectrices de sus ángulos. Romboide El  romboide  tiene lados iguales y paralelos dos a dos.

 En geometría, para comprenderla se parten de definiciones, y en este tema no será la excepción, para poder resolver problemas que atañen a polígonos regulares e irregulares es necesario partir de los distintos conceptos que definen los elementos particulares de los polígonos. Algunos de estos elementos son: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores. En esta sección definiremos los elementos de un polígono y se emplearan por primera vez las fórmulas para determinar las diagonales de un polígono, ángulos interiores y exteriores. Por lo cual a continuación se presentan las definiciones necesarias para comprender el tema: Polígono: Figura plana cerrada, delimitada por segmentos de recta. Vértice: Punto donde concurren dos segmentos de recta llamados lados. Lado: Segmento de recta que une dos vértices adyacentes. Diagonal: Segmento de recta que une dos vértices no adyacentes. Número de diagonales desde un mismo vértice: En un polígono de “n” lados se pueden traza...

 En geometría del plano euclídeo, un cuadrilátero es un polígono con cuatro aristas y cuatro vértices (o de forma coloquial, con cuatro lados y cuatro esquinas). A veces se usa el término cuadrángulo por analogía con triángulo, al igual que tetrágono por consistencia con pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), y en general, con los polígonos de n lados (en este caso, con n=4 lados). La palabra cuadrilátero se deriva de las palabras latinas "quadri", una variante de cuatro, y "latus", que significa "lado" Los cuadriláteros son polígonos simples (no autointersecantes) o complejos (autointersecantes), también llamados cruzados. Los cuadriláteros simples también pueden clasificarse como convexos o cóncavos. Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple (y plano) ABCD, suman 360 grados, es decir Todos los cuadriláteros cuyos lados no se cruzan entre sí, automáticamente recubren el plano mediante la rotación repetida alrededor de los puntos medios de sus lad...

El  Incentro  de un  triángulo  (marcado con la letra  I  en el gráfico) es el  punto  en el que se cortan las tres  bisectrices  de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la  circunferencia   inscrita  en el triángulo,  tangente  a sus tres lados. Junto con el  baricentro ,  circuncentro  y  ortocentro , es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la  recta de Euler . En la  Enciclopedia de los Centros del Triángulo   (obra del matemático estadounidense  Clark Kimberling ) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el  elemento identidad  del grupo multiplicativo de los centros del triángulo. Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circun...

La noción de ortocentro se emplea en el ámbito de la geometrías se denomina al punto donde las alturas de un triangulo se cruzan. El punto en el cual la tres alturas se cortan es el ortocentro. Dado que no se trata de un punto arbitrario dentro de la figura, sino de uno que puede hallarse mediante cálculos exactos, se puede usar de referencia tanto como los vértices para ubicar el triangulo en el espacio, por ejemplo. La ubicación del ortocentro depende de las características del triangulo.     En un triángulo obtusángulo (que dispone de un ángulo obtuso y dos agudos), el ortocentro se encuentra fuera de la figura. Si el triángulo es rectángulo (tiene un ángulo recto), el ortocentro resulta coincidente con el vértice del ángulo de 90°. En el caso de los triángulos acutángulos (todos sus ángulos son agudos), el ortocentro se sitúa dentro de la figura. Resumiendo, puede decirse que, en los triángulos, la altura es una recta que atraviesa un vértice y es perpendicular al lad...

¿Qué es geometría?  La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras. ¿Pará que sirve la geometría? Astronomía y energía solar En el campo de la astronomía se ha utilizado ámpliamente la geometría para describir la trayectoria de los planetas del sistema solar. Arte Las matemáticas, las formas y el arte siempre han estado estrechamente relacionados. Los conceptos de las proporciones ha sido la inspiración de muchos artistas a lo largo del tiempo. La particular proporción áurea, por ejemplo, ha jugado un papel importante en obras artísticas. Otro ejemplo ha sido la construcción de mos...

Para la geometría, el baricentro de la superficie que esta contenida en una figura plana es un punto    que, con cualquier recta que lo atraviese, permite dividir el segmento en cuestión en dos partes que tienen el mismo momento respecto a esta recta. Además de todo lo expuesto, podemos indicar estos otros aspectos importantes  El baricentro de un segmento es el centro justo del mismo. El baricentro de un tetraedro, por ejemplo, viene a ser e punto en el que se cortan los segmentos que unen cada vértice con lo que es el isobaricentro. Este tenemos que exponer que viene a ser un baricentro que destaca por el hecho de que todas las masas son iguales entre si.   Si lo que pretendemos es conocer el baricentro de un triángulo tenemos que exponer que ese será la intersección de lo que son las tres medianas de dicha figura geométrica. -Hay que saber que a la hora de calcular el citado baricentro se puede utilizar la incorporación de lo que son baricentros parciales. Es deci...

 El Teorema de Pitágoras es  una herramienta útil para resolver triángulos, cuando conocemos  las  medidas de dos de sus lados y se requiere encontrar el lado faltante. Para usar el teorema de Pitágoras en la solución de problemas, se debe interpretar la situación planteada y representarla mediante un triángulo rectángulo. Una aplicación muy antigua del teorema mencionado consiste en escuadrar una habitación cuando se va a construir de forma que las paredes formen un cuadrado o rectángulo. Los albañiles saben empíricamente que para trazar un ángulo recto deben medir segmentos de 4 y 3 metros unidos en sus extremos y luego abrir el ángulo hasta que la distancia entre los otros extremos sea de 5 metros. De esta manera se garantiza que las paredes quedaran escuadradas. Otra aplicación es la determinación del alcance de una escalera cuando se apoya en una pared vertical y en un piso horizontal o a que distancia de la pared se debe apoyar para llegar a una altura deseada ...

  La  bisectriz  de un  ángulo  es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. 1 ​ Es una recta si se considera como el  lugar geométrico  de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado. La bisectriz es el eje de simetría del ángulo Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo Dos rectas, al  intersecarse , determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos . En la figura, la bisectriz del ángulo  xOy  (en amarillo) es (z'), y la del ángulo  x'Oy  es (w'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos  a  la amplitud de  xOz , y  b  la de  yOw , observamos que  2a  +  2b  es la amplitud del ángulo  xOx'  = 180º, es un ángulo pl...

  La   altura   de un objeto o   figura geométrica   es una   longitud   o una   distancia   de una   dimensión   geométrica, usualmente vertical o en la dirección de la   gravedad . Este término también se utiliza para designar la coordenada vertical de la parte más elevada de un objeto. Coloquialmente, el sustantivo «altura» puede ser reemplazado por «alto» (adjetivo sustantivizado), que la Real Academia Española acepta como vigesimotercera acepción en su  Diccionario . En  coordenadas cartesianas  (x, y), en el plano, la altura se refiere a la distancia perpendicular al eje X, o la longitud o distancia entre un vértice y el lado opuesto (o su prolongación), denominado «base» si está en posición horizontal. La altura siempre es perpendicular a la base. Un triángulo tiene tres alturas diferentes respecto de sus tres lados y vértices. En el  plano , la  altura de una figura geométrica  relativa a u...

 En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios.  Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.  Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los...

  En  geometría , la  mediana ,  media  o  transversal de gravedad 1 ​ de un triángulo, es el segmento de recta que une un  vértice  con el  punto medio  del lado opuesto. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, siendo lado común de ellos; dichos triángulos, en general, no son congruentes; pero sí equivalentes, de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana  AI  (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos Δ ABI  y Δ ACI  de igual área. Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado  baricentro ,  centroide  o  centro de gravedad . 2 ​ Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto. Para cualquier triángulo rectilíneo  3 ​ con lados  � , � , � , medianas  � � , � � , � �  y perímetro  � , se cumple la sigui...

En efecto, sea  � �  el segmento que sea, determinado por los puntos  �  y  � . Sea  �  el punto medio del segmento y  �  la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea  �  un punto sobre la recta  � . En la  simetría axial  respecto de la recta  � , el punto  �  es invariante y los puntos  �  y  �  son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento  � �  se transforma en el segmento  � � , ambos segmentos son congruentes y el punto  �  equidista de los puntos  �  y  � . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta  �  pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión. Recíprocamente, sea  � �  un segmento y sea  �  un punto que equidista de  �  y de  � , esto es que los segmentos  � �  y  � �  son iguales. Consideremos la bisectriz...